【矩阵相乘是什么】矩阵相乘是线性代数中的一种基本运算，用于将两个矩阵按照特定规则进行组合，得到一个新的矩阵。它是数学、计算机科学、物理学等多个领域的重要工具。理解矩阵相乘的规则和意义，有助于更好地掌握相关学科的知识。
一、什么是矩阵相乘？
矩阵相乘是指两个矩阵之间按照一定规则进行乘法运算的过程。设矩阵 A 是一个 m×n 的矩阵，矩阵 B 是一个 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C = A × B 将是一个 m×p 的矩阵。
矩阵相乘的关键在于：前一个矩阵的列数必须等于后一个矩阵的行数，否则无法进行相乘操作。
二、矩阵相乘的规则
1. 维度匹配
若矩阵 A 是 m×n，矩阵 B 是 n×p，则结果 C 是 m×p。
2. 元素计算方式
矩阵 C 中的每个元素 c_ij 是由矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列对应元素相乘后求和的结果：
$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}
$$
3. 非交换性
矩阵乘法不满足交换律，即 A × B ≠ B × A（除非在特殊情况下）。
4. 结合律成立
矩阵乘法满足结合律，即 (A × B) × C = A × (B × C)。
5. 分配律成立
矩阵乘法满足分配律，即 A × (B + C) = A × B + A × C。
三、矩阵相乘示例
以下是一个简单的矩阵相乘例子：
设：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{bmatrix}
$$
则：
$$
C = A \times B = \begin{bmatrix}
1×5 + 2×7 & 1×6 + 2×8 \\
3×5 + 4×7 & 3×6 + 4×8
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50
\end{bmatrix}
$$
四、矩阵相乘的应用
| 应用领域 | 说明 |
| 计算机图形学 | 用于旋转、平移、缩放等变换 |
| 机器学习 | 在神经网络、特征转换中广泛应用 |
| 物理学 | 描述线性变换、量子力学中的状态变换 |
| 经济学 | 用于投入产出分析、市场模型等 |
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 矩阵相乘 |
| 定义 | 两个矩阵按规则相乘得到新矩阵 |
| 条件 | 前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数 |
| 结果矩阵大小 | m×p（若 A 是 m×n，B 是 n×p） |
| 元素计算方式 | 行×列的点积 |
| 性质 | 不满足交换律，但满足结合律和分配律 |
| 应用 | 图形变换、机器学习、物理建模等 |
通过以上内容，我们可以清晰地了解“矩阵相乘是什么”以及它在实际应用中的重要性。掌握矩阵相乘的基本规则，是进一步学习线性代数和相关学科的基础。