【数学期望常用公式】在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中平均取值的大小。它广泛应用于各个领域，如金融、工程、物理和计算机科学等。为了便于理解和应用，以下是对数学期望常用公式的总结。
一、数学期望的基本定义
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则数学期望（或期望值）定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、常见分布的数学期望公式
以下是一些常见的概率分布及其对应的数学期望公式：
| 分布名称 | 概率质量函数/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ |
三、数学期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：若 $ X $ 与 $ Y $ 是两个随机变量，则
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 期望的乘积：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
4. 期望的非负性：若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $
四、应用场景
数学期望在实际问题中有着广泛的应用，例如：
- 风险评估：在金融领域，通过计算投资回报的期望值来评估风险。
- 决策分析：在不确定性条件下，期望值可以帮助做出最优决策。
- 信号处理：在通信系统中，期望值用于分析噪声和信号的平均特性。
- 机器学习：在模型预测中，期望值用于衡量算法的性能。
五、总结
数学期望是概率论中的核心概念之一，能够帮助我们理解随机变量的“中心位置”或“平均趋势”。掌握不同分布的期望公式以及期望的性质，有助于在实际问题中进行更准确的建模与分析。通过合理运用这些公式，可以提升数据分析、预测和决策的科学性与有效性。