【抛物线顶点坐标公式及推导】在数学中，抛物线是一种常见的二次函数图像，其标准形式为 $ y = ax^2 + bx + c $。抛物线的顶点是其最高点或最低点，根据开口方向不同而决定。掌握顶点坐标的计算方法，有助于我们更直观地分析抛物线的性质和图像。
以下是对抛物线顶点坐标公式的总结与推导过程，结合表格形式进行清晰展示。
一、顶点坐标公式
对于一般的二次函数：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其顶点的横坐标为：
$$ x = -\frac{b}{2a} $$
代入原式可得纵坐标：
$$ y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c $$
化简后得到：
$$ y = \frac{4ac - b^2}{4a} $$
因此，顶点坐标为：
$$ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $$
二、推导过程详解
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 从一般式 $ y = ax^2 + bx + c $ 出发，利用配方法将其转化为顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $，其中 $ (h, k) $ 为顶点坐标。 |
| 2 | 将 $ ax^2 + bx $ 部分配方：$ a(x^2 + \frac{b}{a}x) $，添加并减去 $ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $。 |
| 3 | 得到：$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c $。 |
| 4 | 整理后得到顶点式：$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) $。 |
| 5 | 对比顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $，得出顶点坐标 $ h = -\frac{b}{2a} $，$ k = c - \frac{b^2}{4a} $。 |
三、顶点坐标公式总结表
| 公式名称 | 表达式 | 说明 |
| 横坐标 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 抛物线对称轴的位置 |
| 纵坐标 | $ y = \frac{4ac - b^2}{4a} $ | 抛物线顶点的纵坐标 |
| 顶点坐标 | $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $ | 抛物线的最高点或最低点 |
四、实际应用举例
假设有一个二次函数：
$$ y = 2x^2 - 4x + 1 $$
则：
- $ a = 2 $，$ b = -4 $，$ c = 1 $
- 顶点横坐标：$ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $
- 顶点纵坐标：$ y = \frac{4 \times 2 \times 1 - (-4)^2}{4 \times 2} = \frac{8 - 16}{8} = -1 $
所以顶点坐标为 $ (1, -1) $
通过上述内容，我们可以清晰地理解抛物线顶点坐标的来源及其推导方式，便于在实际问题中灵活运用。