【10的阶乘的标准分解式】在数学中，阶乘是一个非常基础且重要的概念。对于一个正整数 $ n $，其阶乘记作 $ n! $，表示从 1 到 $ n $ 所有正整数的乘积。例如，$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $。
当我们研究阶乘时，常常需要将其分解为质因数的形式，这种形式被称为“标准分解式”。标准分解式不仅有助于理解数的结构，还能用于计算组合数、最大公约数等数学问题。
下面我们将详细分析 $ 10! $ 的标准分解式，并以表格形式展示结果。
一、什么是标准分解式？
标准分解式是指将一个数分解成若干个质数的幂次乘积的形式。例如，$ 12 = 2^2 \times 3^1 $，这就是 12 的标准分解式。
对于阶乘来说，由于它是由多个连续自然数相乘得到的，因此它的质因数分解会包含多个质数的幂次。
二、10的阶乘是多少？
$$
10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
$$
计算得：
$$
10! = 3628800
$$
三、10的阶乘的标准分解式
为了找到 $ 10! $ 的标准分解式，我们需要找出所有小于或等于 10 的质数，并统计每个质数在 $ 10! $ 中出现的次数。
1. 小于或等于 10 的质数有：
$$
2, 3, 5, 7
$$
2. 统计每个质数的指数（即在 10! 中出现的次数）
我们可以使用“Legendre 公式”来计算每个质数在阶乘中的指数：
$$
\text{对于质数 } p, \quad \text{指数} = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \dots
$$
应用这个公式到 $ n = 10 $：
- 对于质数 2：
$$
\left\lfloor \frac{10}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10}{8} \right\rfloor = 5 + 2 + 1 = 8
$$
- 对于质数 3：
$$
\left\lfloor \frac{10}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10}{9} \right\rfloor = 3 + 1 = 4
$$
- 对于质数 5：
$$
\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor = 2
$$
- 对于质数 7：
$$
\left\lfloor \frac{10}{7} \right\rfloor = 1
$$
四、总结：10的阶乘的标准分解式
| 质数 | 指数 |
| 2 | 8 |
| 3 | 4 |
| 5 | 2 |
| 7 | 1 |
因此，$ 10! $ 的标准分解式为：
$$
10! = 2^8 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1
$$
五、小结
通过上述分析，我们不仅得到了 $ 10! $ 的数值结果，还得到了其质因数分解形式。这种分解方式有助于更深入地理解数字的结构，并在组合数学、数论等领域有广泛应用。