【和差化积公式推导过程】在三角函数的学习中，和差化积公式是将两个三角函数的和或差转化为乘积形式的重要工具。这些公式在解题、简化计算以及证明过程中具有广泛应用。本文将对常见的和差化积公式进行总结，并通过表格形式展示其推导过程。
一、基本概念
和差化积公式主要用于将以下形式的表达式进行转换：
- $\sin A + \sin B$
- $\sin A - \sin B$
- $\cos A + \cos B$
- $\cos A - \cos B$
通过引入和角公式与差角公式，我们可以逐步推导出这些公式的具体形式。
二、推导过程
1. $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
推导思路：
利用正弦的和角公式：
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\
\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
$$
将两式相加：
$$
\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2\sin A \cos B
$$
令 $A + B = x$，$A - B = y$，则 $A = \frac{x+y}{2}$，$B = \frac{x-y}{2}$，代入得：
$$
\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
$$
即：
$$
\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
2. $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
推导思路：
由上述推导中，将两式相减：
$$
\sin(A + B) - \sin(A - B) = 2\cos A \sin B
$$
同样令 $A + B = x$，$A - B = y$，得到：
$$
\sin x - \sin y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)
$$
即：
$$
\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
3. $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
推导思路：
利用余弦的和角公式：
$$
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\
\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
$$
将两式相加：
$$
\cos(A + B) + \cos(A - B) = 2\cos A \cos B
$$
令 $A + B = x$，$A - B = y$，则：
$$
\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
$$
即：
$$
\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
4. $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
推导思路：
将余弦的和角公式相减：
$$
\cos(A - B) - \cos(A + B) = 2\sin A \sin B
$$
令 $A + B = x$，$A - B = y$，则：
$$
\cos y - \cos x = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)
$$
即：
$$
\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
三、公式总结表
| 公式名称 | 表达式 | 推导来源 |
| 正弦和 | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 和角公式相加 |
| 正弦差 | $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 和角公式相减 |
| 余弦和 | $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 和角公式相加 |
| 余弦差 | $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 和角公式相减 |
四、结语
和差化积公式是三角函数中非常实用的工具，能够将复杂的和或差的形式转化为乘积形式，便于进一步的运算和分析。掌握这些公式的推导过程，有助于加深对三角函数性质的理解，并提高解决实际问题的能力。