【变上限积分的求导公式】在微积分中，变上限积分是一个重要的概念，广泛应用于数学分析、物理和工程等领域。变上限积分指的是积分上限为变量的积分形式，其求导方法与普通函数的求导有所不同。掌握变上限积分的求导公式，有助于我们更深入地理解积分与导数之间的关系。
一、基本概念
设函数 $ f(t) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt $，则称 $ F(x) $ 为以 $ x $ 为上限的变上限积分。根据微积分基本定理，该函数在 $ x \in [a, b] $ 上可导，并且导数为：
$$
F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)
$$
这是变上限积分求导的基本公式。
二、变上限积分的求导规则总结
| 情况 | 积分表达式 | 求导结果 | 说明 |
| 1 | $ \int_{a}^{x} f(t) \, dt $ | $ f(x) $ | 基本形式，直接使用微积分基本定理 |
| 2 | $ \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ f(u(x)) \cdot u'(x) $ | 使用链式法则，将上限函数代入并乘以其导数 |
| 3 | $ \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x) $ | 分成两部分，分别对上下限求导后相减 |
| 4 | $ \int_{a}^{x^2} f(t) \, dt $ | $ f(x^2) \cdot 2x $ | 上限为 $ x^2 $，应用链式法则 |
| 5 | $ \int_{\sin x}^{e^x} f(t) \, dt $ | $ f(e^x) \cdot e^x - f(\sin x) \cdot \cos x $ | 上下限均为函数，分别对两者求导后相减 |
三、注意事项
- 变上限积分的求导必须考虑上限函数的变化，尤其是当上限不是简单变量时。
- 若积分上下限均是关于 $ x $ 的函数，则需分别对上下限进行求导，并按照差的形式处理。
- 当被积函数中含有 $ x $ 时（即 $ f(x, t) $），不能直接套用上述公式，需要进一步分析。
四、应用实例
例1：
求 $ \frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sin t \, dt $
解：
令 $ u(x) = x^2 $，则原式为 $ \int_{0}^{u(x)} \sin t \, dt $，根据公式得：
$$
\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sin t \, dt = \sin(x^2) \cdot 2x
$$
例2：
求 $ \frac{d}{dx} \int_{\ln x}^{x^3} t^2 \, dt $
解：
令 $ u(x) = x^3 $，$ v(x) = \ln x $，则：
$$
\frac{d}{dx} \int_{\ln x}^{x^3} t^2 \, dt = (x^3)^2 \cdot 3x^2 - (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x}
= 3x^8 - \frac{(\ln x)^2}{x}
$$
五、总结
变上限积分的求导是微积分中的重要内容，其核心在于利用微积分基本定理和链式法则。通过合理运用这些规则，可以快速求出复杂形式的变上限积分的导数。掌握这些方法不仅有助于考试答题，也对实际问题的建模与求解具有重要意义。